矩阵和数组
数组的创建
要创建每行包含四个元素的数组,请使用逗号 (,
) 或空格分隔各元素。
1 | a = [1 2 3 4] |
这种数组为行向量。
要创建包含多行的矩阵,请使用分号分隔各行。
1 | a = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 10] |
创建矩阵的另一种方法是使用 ones
、zeros
或 rand
等函数。例如,创建一个由零组成的 5×1 列向量。
1 | z = zeros(5,1) |
矩阵和数组运算
MATLAB 允许您使用单一的算术运算符或函数来处理矩阵中的所有值。
1 | a + 10 |
要转置矩阵,请使用单引号 ('
):
1 | a' |
您可以使用 *
运算符执行标准矩阵乘法,这将计算行与列之间的内积。例如,确认矩阵乘以其逆矩阵可返回单位矩阵:
1 | p = a*inv(a) |
请注意,p
不是整数值矩阵。MATLAB 将数字存储为浮点值,算术运算可以区分实际值与其浮点表示之间的细微差别。使用 format
命令可以显示更多小数位数:
1 | format long |
使用以下命令将显示内容重置为更短格式
1 | format short |
format
仅影响数字显示,而不影响 MATLAB 对数字的计算或保存方式。
要执行元素级乘法(而非矩阵乘法),请使用 .*
运算符:
1 | p = a.*a |
乘法、除法和幂的矩阵运算符分别具有执行元素级运算的对应数组运算符。例如,计算 a
的各个元素的三次方:
1 | a.^3 |
串联
串联是连接数组以便形成更大数组的过程。实际上,第一个数组是通过将其各个元素串联起来而构成的。成对的方括号 []
即为串联运算符。
1 | A = [a,a] |
使用逗号将彼此相邻的数组串联起来称为水平串联。每个数组必须具有相同的行数。同样,如果各数组具有相同的列数,则可以使用分号垂直串联。
1 | A = [a; a] |
复数
复数包含实部和虚部,虚数单位是 -1
的平方根。
1 | sqrt(-1) |
要表示复数的虚部,请使用 i
或 j
。
1 | c = [3+4i, 4+3j; -i, 10j] |
数组的索引
MATLAB® 中的每个变量都是一个可包含许多数字的数组。如果要访问数组的选定元素,请使用索引。
以 4×4 幻方矩阵 A
为例:
1 | A = magic(4) |
引用数组中的特定元素有两种方法。最常见的方法是指定行和列下标,例如
1 | A(4,2) |
另一种方法不太常用,但有时非常有用,即使用单一下标按顺序向下遍历每一列:
1 | A(8) |
使用单一下标引用数组中特定元素的方法称为线性索引。
如果尝试在赋值语句右侧引用数组外部元素,MATLAB 会引发错误。
1 | test = A(4,5) |
不过,您可以在赋值语句左侧指定当前维外部的元素。数组大小会增大以便容纳新元素。
1 | A(4,5) = 17 |
要引用多个数组元素,请使用冒号运算符,这使您可以指定一个格式为 start:end
的范围。例如,列出 A
前三行及第二列中的元素:
1 | A(1:3,2) |
单独的冒号(没有起始值或结束值)指定该维中的所有元素。例如,选择 A
第三行中的所有列:
1 | A(3,:) |
此外,冒号运算符还允许您使用较通用的格式 start:step:end
创建等距向量值。
1 | B = 0:10:100 |
如果省略中间的步骤(如 start:end
中),MATLAB 会使用默认步长值 1
。
工作区变量
工作区包含在 MATLAB 中创建或从数据文件或其他程序导入的变量。例如,下列语句在工作区中创建变量 A
和 B
。
1 | A = magic(4); |
使用 whos
可以查看工作区的内容。
1 | whos |
此外,桌面上的“工作区”窗格也会显示变量。
退出 MATLAB 后,工作区变量不会保留。使用 save
命令保存数据以供将来使用,
1 | save myfile.mat |
通过保存,系统会使用 .mat
扩展名将工作区保存在当前工作文件夹中一个名为 MAT 文件的压缩文件中。
要清除工作区中的所有变量,请使用 clear
命令。
使用 load
将 MAT 文件中的数据还原到工作区。
1 | load myfile.mat |
文本和字符
字符串数组中的文本
当您处理文本时,将字符序列括在双引号中。可以将文本赋给变量。
1 | t = "Hello, world"; |
如果文本包含双引号,请在定义中使用两个双引号。
1 | q = "Something ""quoted"" and something else." |
与所有 MATLAB® 变量一样,t
和 q
为数组。它们的类或数据类型是 string
。
1 | whos t |
注意
使用双引号创建字符串数组是在 R2017a 中引入的。如果您使用的是更早期的版本,请创建字符数组
要将文本添加到字符串的末尾,请使用加号运算符 +
。
1 | f = 71; |
与数值数组类似,字符串数组可以有多个元素。使用 strlength
函数求数组中每个字符串的长度。
1 | A = ["a","bb","ccc"; "dddd","eeeeee","fffffff"] |
字符数组中的数据
有时,字符表示的数据并不对应到文本,例如 DNA 序列。您可以将此类数据存储在数据类型为 char
的字符数组中。字符数组使用单引号。
1 | seq = 'GCTAGAATCC'; |
数组的每个元素都包含单个字符。
1 | seq(4) |
使用方括号串联字符数组,就像串联数值数组一样。
1 | seq2 = [seq 'ATTAGAAACC'] |
在字符串数组引入之前编写的程序中,字符数组很常见。接受 string
数据的所有 MATLAB 函数都能接受 char
数据,反之亦然。
调用函数
MATLAB提供了大量执行计算任务的函数。在其他编程语言中,函数等同于子例程或方法。
要调用函数,例如 max
,请将其输入参数括在圆括号中:
1 | A = [1 3 5]; |
如果存在多个输入参数,请使用逗号加以分隔:
1 | B = [10 6 4]; |
通过将函数赋值给变量,返回该函数的输出:
1 | maxA = max(A) |
如果存在多个输出参数,请将其括在方括号中:
1 | [maxA,location] = max(A) |
将任何字符输入括在单引号中:
1 | disp('hello world') |
要调用不需要任何输入且不会返回任何输出的函数,请只键入函数名称:
1 | clc |
clc
函数清空命令行窗口。
二维图和三维图
线图
要创建二维线图,请使用 plot
函数。例如,绘制从 0 到 之间的正弦函数值:
1 | x = 0:pi/100:2*pi; |
可以标记轴并添加标题。
1 | xlabel('x') |
通过向 plot
函数添加第三个输入参数,您可以使用红色虚线绘制相同的变量。
1 | plot(x,y,'r--') |
'r--'
为线条设定。每个设定可包含表示线条颜色、样式和标记的字符。标记是在绘制的每个数据点上显示的符号,例如,+
、o
或 `。例如,
‘g:‘请求绘制使用
*` 标记的绿色点线。
请注意,为第一幅绘图定义的标题和标签不再被用于当前的图窗窗口中。默认情况下,每次调用绘图函数、重置坐标区及其他元素以准备新绘图时,MATLAB® 都会清空图窗。
要将绘图添加到现有图窗中,请使用 hold on
。在使用 hold off
或关闭窗口之前,当前图窗窗口中会显示所有绘图。
1 | x = 0:pi/100:2*pi; |
三维绘图
三维图通常显示一个由带两个变量的函数(即 z = f (x,y))定义的曲面图。
要计算 z,请首先使用 meshgrid
在此函数的域中创建一组 (x,y) 点。
1 | [X,Y] = meshgrid(-2:.2:2); |
然后,创建曲面图。
1 | surf(X,Y,Z) |
surf
函数及其伴随函数 mesh
以三维形式显示曲面图。surf
使用颜色显示曲面图的连接线和面。mesh
生成仅以颜色标记连接定义点的线条的线框曲面图。
子图
使用 subplot
函数可以在同一窗口的不同子区域显示多个绘图。
subplot
的前两个输入表示每行和每列中的绘图数。第三个输入指定绘图是否处于活动状态。例如,在图窗窗口的 2×2 网格中创建四个绘图。
1 | t = 0:pi/10:2*pi; |
编程和脚本
脚本是最简单的一种 MATLAB程序。脚本是一个包含多行连续的 MATLAB 命令和函数调用的文件。在命令行中键入脚本名称即可运行该脚本。
脚本
要创建脚本,请使用 edit
命令。
1 | edit mysphere |
该命令会打开一个名为 mysphere.m
的空白文件。输入代码,以创建一个单位球、将半径加倍并绘制结果图:
1 | [x,y,z] = sphere; |
接下来,添加代码以计算球的表面积和体积:
1 | A = 4*pi*r^2; |
编写代码时,最好添加描述代码的注释。注释能够让其他人员理解您的代码,并且有助于您在稍后返回代码时再度记起。使用百分比 (%
) 符号添加注释。
1 | % Create and plot a sphere with radius r. |
将文件保存在当前文件夹中。要运行脚本,请在命令行中键入脚本名称:
1 | mysphere |
还可以从编辑器使用运行按钮 运行脚本。
实时脚本
您可以使用实时脚本中的格式设置选项来增强代码,而不是以纯文本编写代码和注释。实时脚本有助于您查看代码和输出并与之交互,还可以包含格式化文本、方程和图像。
例如,通过选择另存为并将文件类型更改为 MATLAB 实时代码文件 (*.mlx
),将 mysphere
转换为实时脚本。然后,用格式化文本替换代码注释。例如:
将注释行转换为文本。选择以百分比符号开头的每一行,然后选择文本、。删除百分比符号。
重写文本以替换代码行末尾的注释。要将等宽字体应用于文本中的函数名,请选择 。要添加方程,请在插入选项卡上选择方程。
要使用 edit
命令创建新的实时脚本,请在文件名中包含 .mlx
扩展名:
1 | edit newfile.mlx |
循环及条件语句
在任何脚本中,您都可以定义按循环重复执行或按条件执行的代码段。循环使用 for
或 while
关键字,条件语句使用 if
或 switch
。
循环在创建序列时很有用。例如,创建一个名为 fibseq
的脚本,该脚本使用 for
循环来计算斐波那契数列的前 100 个数。在这个序列中,最开始的两个数是 1,随后的每个数是前面两个数的和,即 Fn = Fn-1 + Fn-2。
1 | N = 100; |
运行该脚本时,for
语句定义一个名为 n
的计数器,该计数器从 3 开始。然后,该循环重复为 f(n)
赋值,n
在每次执行中递增,直至达到 100。脚本中的最后一条命令 f(1:10)
显示 f
的前 10 个元素。
1 | ans = |
条件语句仅在给定表达式为 true 时执行。例如,根据随机数的大小为变量赋值:'low'
、'medium'
或 'high'
。在本例中,随机数是在 1 和 100 之间的一个整数。
1 | num = randi(100) |
语句 sz = 'high'
仅在 num
大于或等于 67 时执行。
脚本位置
MATLAB 在特定位置中查找脚本及其他文件。要运行脚本,该文件必须位于当前文件夹或搜索路径中的某个文件夹内。
默认情况下,MATLAB 安装程序创建的 MATLAB
文件夹位于此搜索路径中。如果要将程序存储在其他文件夹,或者要运行其他文件夹中的程序,请将其添加到此搜索路径。在当前文件夹浏览器中选中相应的文件夹,右键点击,然后选择添加到路径。
帮助和文档
所有 MATLAB函数都有辅助文档,这些文档包含一些示例,并介绍函数输入、输出和调用语法。从命令行访问此信息有多种方法:
使用
doc
命令在单独的窗口中打开函数文档。1
mean
在键入函数输入参数的左括号之后暂停,此时命令行窗口中会显示相应函数的提示(函数文档的语法部分)。
1
mean(
使用
help
命令可在命令行窗口中查看相应函数的简明文档。1
help mean
点击帮助图标 即可访问完整的产品文档。
矩阵和幻方矩阵
关于矩阵
在 MATLAB环境中,矩阵是由数字组成的矩形数组。有时,1×1 矩阵(即标量)和只包含一行或一列的矩阵(即向量)会附加特殊含义。MATLAB 采用其他方法来存储数值数据和非数值数据,但刚开始时,通常最好将一切内容都视为矩阵。MATLAB 旨在尽可能简化运算。其他编程语言一次只能处理一个数字,而 MATLAB 允许您轻松快捷地处理整个矩阵。本手册中使用的有效示例矩阵摘自德国艺术家和业余数学家 Albrecht Dürer 在文艺复兴时期的雕刻 Melencolia I。
这幅图布满了数学符号,通过仔细观察,您会发现右上角有一个矩阵。此矩阵称为幻方矩阵,在 Dürer 所处的时代,此幻方矩阵被视为富有真正的神秘性质。它具有某些值得让人深究的迷人特征。
输入矩阵
您可以采用多种不同方法在 MATLAB 中输入矩阵:
- 输入元素的明确列表。
- 从外部数据文件加载矩阵。
- 使用内置函数生成矩阵。
- 使用您自己的函数创建矩阵,并将其保存在文件中。
首先,以元素列表的形式输入丢勒的矩阵。您只需遵循一些基本约定:
- 使用空格或逗号分隔行的元素。
- 使用分号
;
表示每行末尾。 - 使用方括号
[ ]
将整个元素列表括起来。
要输入丢勒矩阵,只需在命令行窗口中键入即可
1 | A = [16 3 2 13; 5 10 11 8; 9 6 7 12; 4 15 14 1] |
MATLAB 显示刚才您输入的矩阵:
1 | A = |
此矩阵与雕刻中的数字一致。输入矩阵之后,MATLAB 工作区会自动记住此矩阵。您可以将其简称为 A
。现在,您已经在工作区中输入 A
,让我们看看它为什么如此有趣吧。它有什么神奇的地方呢?
矩阵求和、转置和对角矩阵
您可能已经注意到,幻方矩阵的特殊属性与元素的不同求和方法相关。如果沿任何行或列求和,或者沿两条主对角线中的任意一条求和,您将始终得到相同数字。让我们使用 MATLAB 来验证这一点。尝试的第一个语句是
1 | sum(A) |
MATLAB 返回的结果为
1 | ans = |
如果未指定输出变量,MATLAB 将使用变量 ans
(answer 的缩略形式)来存储计算结果。您已经计算包含 A
的列总和的行向量。每个列的总和都相同,即幻数和 34。
行总和如何处理?MATLAB 会优先处理矩阵的列,因此获取行总和的一种方法是转置矩阵,计算转置的列总和,然后转置结果。
MATLAB 具有两个转置运算符。撇号运算符(例如,A'
)执行复共轭转置。它会围绕主对角线翻转矩阵,并且还会更改矩阵的任何复数元素的虚部符号。点撇号运算符 (A.'
) 转置矩阵,但不会影响复数元素的符号。对于包含所有实数元素的矩阵,这两个运算符返回相同结果。
因此
1 | A' |
生成
1 | ans = |
而
1 | sum(A')' |
生成包含行总和的列向量
1 | ans = |
有关避免双重转置的其他方法,请在 sum
函数中使用维度参数:
1 | sum(A,2) |
生成
1 | ans = |
使用 sum
和 diag
函数可以获取主对角线上的元素的总和:
1 | diag(A) |
生成
1 | ans = |
而
1 | sum(diag(A)) |
生成
1 | ans = |
1 | sum(diag(fliplr(A))) |
您已经验证丢勒雕刻中的矩阵确实是一个幻方矩阵,同时在验证过程中,您已经尝试了几个 MATLAB 矩阵运算。下面各部分继续使用此矩阵来演示 MATLAB 的其他功能。
magic 函数
MATLAB 实际包含一个内置函数,该函数可创建几乎任意大小的幻方矩阵。此函数称为 magic
也就不足为奇了:
1 | B = magic(4) |
此矩阵几乎与丢勒雕刻中的矩阵相同,并且具有所有相同的“神奇”性质;唯一区别在于交换了中间两列。
您可以交换 B
的中间两列,使其看起来像丢勒 A
。针对 B
中的每一行,按照指定顺序(1、3、2、4)对列进行重新排列:
1 | A = B(:,[1 3 2 4]) |
生成矩阵
MATLAB 软件提供了四个用于生成基本矩阵的函数。
zeros |
全部为零 |
---|---|
ones |
全部为 1 |
rand |
均匀分布的随机元素 |
randn |
正态分布的随机元素 |
下面给出了一些示例:
1 | Z = zeros(2,4) |
表达式
变量
与大多数其他编程语言一样,MATLAB语言提供数学表达式,但与大多数编程语言不同的是,这些表达式涉及整个矩阵。
MATLAB 不需要任何类型声明或维度说明。当 MATLAB 遇到新的变量名称时,它会自动创建变量,并分配适当大小的存储。如果此变量已存在,MATLAB 会更改其内容,并根据需要分配新存储。例如,
1 | num_students = 25 |
创建一个名为 num_students
的 1×1 矩阵,并将值 25 存储在该矩阵的单一元素中。要查看分配给任何变量的矩阵,只需输入变量名称即可。
变量名称包括一个字母,后面可以跟随任意数目的字母、数字或下划线。MATLAB 区分大小写;它可以区分大写和小写字母。A
和 a
不是相同变量。
尽管变量名称可以为任意长度,MATLAB 仅使用名称的前 N
个字符(其中 N
是函数 namelengthmax
返回的数字),并忽略其余字符。因此,很重要的一点是,应使每个变量名称的前 N
个字符保持唯一,以便 MATLAB 能够区分变量。
1 | N = namelengthmax |
数字
MATLAB 使用传统的十进制记数法以及可选的小数点和前导加号或减号来表示数字。科学记数法使用字母 e
来指定 10 次方的缩放因子。虚数使用 i
或 j
作为后缀。下面给出了合法数字的一些示例:
1 | 3 -99 0.0001 |
以双精度格式表示的数字的最大精度为 52 位。任何需要 52 位以上的双精度数字都会损失一定精度。例如,下面的代码因截断而将两个不相等的值显示为相等:
1 | x = 36028797018963968; |
整数的可用精度为 8 位、16 位、32 位和 64 位。将相同数字存储为 64 位整数会保留精度:
1 | x = uint64(36028797018963968); |
MATLAB 软件存储复数的实部和虚部。该软件根据上下文采用不同方法来处理各个部分的量值。例如,sort
函数根据量值进行排序,如果量值相等,则根据相位角度排序。
1 | sort([3+4i, 4+3i]) |
这是由相位角度所致:
1 | angle(3+4i) |
“等于”关系运算符 ==
要求实部和虚部相等。其他二进制关系运算符 >
、<
、>=
和 <=
忽略数字的虚部,而仅考虑实部。
矩阵运算符
表达式使用大家熟悉的算术运算符和优先法则。
+ |
加法 |
---|---|
- | 减法 |
* |
乘法 |
/ |
除法 |
\ |
左除 |
^ |
幂 |
' |
复共轭转置 |
( ) |
指定计算顺序 |
数组运算符
如果矩阵不用于线性代数运算,则成为二维数值数组。数组的算术运算按元素执行。这意味着,加法和减法运算对数组和矩阵都是相同的,但乘法运算不相同。MATLAB 的乘法数组运算表示法中包含点,也就是小数点。
运算符列表包括
+ |
加法 |
---|---|
- |
减法 |
.* |
逐元素乘法 |
./ |
逐元素除法 |
.\ |
逐元素左除 |
.^ |
逐元素幂 |
.' |
非共轭数组转置 |
如果使用数组乘法将丢勒的幻方矩阵自乘
1 | A.*A |
则会生成一个数组,该数组包含介于 1 至 16 之间的整数的平方,并且以不常见的顺序排列:
1 | ans = |
构建表
数组运算对构建表非常有用。假定 n
为列向量
1 | n = (0:9)'; |
然后,
1 | pows = [n n.^2 2.^n] |
构建一个平方和 2 次幂的表:
1 | pows = |
初等数学函数逐元素处理数组元素。因此
1 | format short g |
构建一个对数表。
1 | logs = |
函数
1 | help elfun |
1 | help specfun |
内置函数与其他函数之间存在一些差异。例如,对于内置函数,您看不到代码。对于其他函数,您可以看到代码,甚至可以根据需要修改代码。
一些特殊函数提供了有用的常量值。
pi |
3.14159265… |
---|---|
i |
虚数单位 |
j |
与 i 相同 |
eps |
浮点相对精度 |
realmin |
最小浮点数 |
realmax |
最大浮点数 |
Inf |
无穷大 |
NaN |
非数字 |
函数名称不会保留。您可以使用如下新变量覆盖任何函数名称
1 | eps = 1.e-6 |
并在后续计算中使用该值。可以使用以下命令恢复原始函数
1 | clear eps |
表达式示例
您已经学习了 MATLAB 表达式的几个示例。下面是一些其他示例及生成的值:
1 | rho = (1+sqrt(5))/2 |
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